Question

设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁＋a₃＝10，a₃＋a₅＝40. 数列{b_n}中，前n项和
(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
(2)若c₁＝1，c_n＋1＝c_n＋，求数列的通项公式
(3)是否存在正整数k，使得＋＋…＋＞对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．

Answer 1

(1)）   (2)    （3）

试题分析：（1）解：设数列{a_n}的公比为q（q＞0），由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，则a₁+a₁q²=10①，a₁q²+a₁q⁴=40②∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．把q=2代入①得，a₁=2．∴a_n=a₁q^n-1=2×2^n-1=2ⁿ根据，那么对于n=1，，综上可知
（2）那么可知c₁＝1，c_n＋1＝c_n＋= c_n＋ ，利用累加法可知
（3）假设存在正整数K，使得＋＋…＋＞对任意正整数n均成立，则只要求解的前n项和即可通过放缩法得到k的取值范围,即。
点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，属中档题．