Question

15．已知AB是圆C：（x-1）²+y²=1的直径，点P为直线x-y+1=0上任意一点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 运用向量加减运算和数量积的性质，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}$）=${\overrightarrow{PC}}^{2}+\overrightarrow{PC}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$|\overrightarrow{PC}{|}^{2}-{r}^{2}$，即为d²-r²，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．

解答 解：由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}$）
=${\overrightarrow{PC}}^{2}+\overrightarrow{PC}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$|\overrightarrow{PC}{|}^{2}-{r}^{2}$，
即为d²-r²，其中d为圆心到直线上点的距离，r为半径，
因此当d取最小值时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值最小，
可知d的最小值为$\frac{|1-0+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
故$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为2-1=1．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．