Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，P（m，n）为圆x²+y²=16上任意一点，过P作椭圆的切线PA，PB，设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）证明：切线PA的方程为$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1；
（2）设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得a，求得椭圆方程，当y₁=0时，直线x₁=±2，求得PA的方程是x=±2，当y₁≠0时，求导，求得PA的切线斜率，根据直线的点斜式方程及x₁²+4y₁²=4，即可求得$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1； 
（2）由（1）可知：切线PB 的方程为$\frac{{x}_{2}x}{4}+{y}_{2}y=1$，代入求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得弦长丨AB丨，根据点到直线的距离公式d，由S_△OAB=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{4\sqrt{3{n}^{2}+12}}{3{n}^{2}+16}$，由均值不等式，即可求得△OAB面积的最大值．

解答 解：（1）证明：离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，
椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
当y₁=0时，直线x₁=±2，
∴x²=4，代入椭圆方程得到y=0，
∴切线PA的方程是x=±2； 
当y₁≠0时，对椭圆方程两边求导得：$\frac{x}{2}+2yy′=0$，
则过切点A的斜率为k=y′=-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，
切线方程为：y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$（x-x₁），
∵又x₁²+4y₁²=4，
∴$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1；
（2）根据（1）可得切线 PA的方程为 $\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1，
切线PB 的方程为$\frac{{x}_{2}x}{4}+{y}_{2}y=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}m}{4}+{y}_{1}n=1}\\{\frac{{x}_{2}m}{4}+{y}_{2}n=1}\end{array}\right.$，
∴直线 AB方程为 $\frac{mx}{4}+ny=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{mx}{4}+ny=1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，消y 得到（1+$\frac{{m}^{2}}{4{n}^{2}}$）²-$\frac{2m}{{n}^{2}}$x+$\frac{4}{{n}^{2}}$-4=0，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{△}}{丨a丨}$=$\sqrt{1+（-\frac{m}{4n}）^{2}}$•$\frac{\sqrt{-\frac{16}{{n}^{2}}+\frac{4{m}^{2}}{{n}^{2}}+16}}{丨1+\frac{{m}^{2}}{4{n}^{2}}丨}$，
又∵原点 O到直线AB 的距离d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{4}^{2}}+{n}^{2}}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\sqrt{1+（-\frac{m}{4n}）^{2}}$•$\frac{\sqrt{-\frac{16}{{n}^{2}}+\frac{4{m}^{2}}{{n}^{2}}+16}}{丨1+\frac{{m}^{2}}{4{n}^{2}}丨}$•$\frac{1}{\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{4}^{2}}+{n}^{2}}}$，
=$\frac{4\sqrt{4{n}^{2}+{m}^{2}-4}}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$，
又∵P（m，n） 为圆x²+y²=16上任意一点，
∴m²+n²=16，
∴S_△OAB=$\frac{4\sqrt{3{n}^{2}+12}}{3{n}^{2}+16}$，
令t=$\sqrt{3{n}^{2}+12}$≥2$\sqrt{3}$，则S_△OAB=$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$ 在[2$\sqrt{3}$，+∞） 上单调递减，
∴S_△OAB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，点到直线的位置关系及三角形的面积公式的综合运用，难度系数较大，在高考中属于压轴题，属于难题．