Question

1．求下列函数的值域．
（1）y=$\frac{3sinx-1}{2sinx+1}$          
（2）y=sin²x+sinx+1．

Answer 1

分析 （1）法一、把已知函数解析式变形，分离常数，然后由sinx的范围逐一求出2sinx+1、$\frac{1}{2（2sinx+1）}$的范围得答案；法二、把已知函数解析式变形求解sinx，然后利用正弦函数的有界性得|sinx|≤1，进一步得到关于y的分式不等式得答案；
（2）利用配方法结合sinx的范围求得函数值域．

解答 解：（1）法一、y=$\frac{3sinx-1}{2sinx+1}$=$\frac{\frac{3}{2}（2sinx+1）-\frac{5}{2}}{2sinx+1}$=$-\frac{5}{2（2sinx+1）}+\frac{3}{2}$，
由题意2sinx+1∈[-1，0）∪（0，3]，则2（2sinx+1）∈[-2，0）∪（0，6]．
$\frac{1}{2（2sinx+1）}∈$（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{6}$，+∞）．
∴$-\frac{5}{2（2sinx+1）}∈$（-∞，-$\frac{5}{6}$]∪[$\frac{5}{2}，+∞$），
则y∈（-∞，$\frac{2}{3}$]∪[4，+∞）；   
法二、由y=$\frac{3sinx-1}{2sinx+1}$，得2ysinx+y=3sinx-1，即（2y-3）sinx=-y-1，
∴sinx=$\frac{-y-1}{2y-3}$，由|sinx|=|$\frac{y+1}{2y-3}$|≤1，两边平方得：（y+1）²≤（2y-3）²，
整理得3y²-14y+8≥0，解得y$≤\frac{2}{3}$或y≥4．
∴原函数的值域为（-∞，$\frac{2}{3}$]∪[4，+∞）；                 
（2）y=sin²x+sinx+1=$（sinx+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$，
∵-1≤sinx≤1，∴$（sinx+\frac{1}{2}）^{2}∈[0，\frac{9}{4}]$，则y∈[$\frac{3}{4}，3$]．

点评 本题考查三角函数最值的求法，训练了分离常数法和配方法，体现了极限思想方法的运用，是中档题．