Question

16．已知定义在R上的函数g（x）的导函数为g′（x），满足g′（x）-g（x）＜0，若函数g（x）的图象关于直线x=2对称，且g（4）=1，则不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1的解集为（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 构造函数f（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，由已知可得f（x）为定义域内的减函数，再由已知求得f（0），然后利用函数的单调性即可求解不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1的解集．

解答 解：令f（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，则f′（x）=$\frac{g′（x）-g（x）}{{e}^{x}}$，
∵g′（x）-g（x）＜0，∴f′（x）＜0，
得函数f（x）为定义域内的减函数，
又函数g（x）的图象关于直线x=2对称，且g（4）=1，
∴g（2+x）=g（2-x），则g（4）=g（0）=1，
而当x=0时，f（0）=$\frac{g（0）}{{e}^{0}}$=1．
不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1，即f（x）＞f（0），
解得：x＜0，
∴不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1的解集为（-∞，0）．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数f（x）是解题的关键，是中档题．