Question

1．已知f（x）=e^x，g（x）=1nx．
（I）分别求函数y=f（x）与y=g（x）图象与坐标轴交点处的切线方程；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x），若函数h（x）在x=x₀处取得极小值，求证：x₀∈（$\frac{1}{2}$，1），且h（x₀）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出f（x），g（x）的导数，求出相对应的切线的斜率，代入切线方程即可；
（Ⅱ）求出h（x）的导数，得到导函数的单调性，判断出h′（$\frac{1}{2}$）＜0，h′（1）＞0，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x与坐标轴交点的坐标是（0，1），
f′（x）=e^x，f′（0）=1，
故切线方程是：y-1=（x-0），
即x-y+1=0，
g（x）=lnx与坐标轴交点的坐标是（1，0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（1）=1，
故切线方程是：y-0=（x-1），
即x-y-1=0；
（Ⅱ）证明：h（x）=e^x-1nx，（x＞0），
h′（x）=$\frac{{xe}^{x}-1}{x}$，（x＞0），
令m（x）=xe^x-1，m′（x）=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴h′（x）在（0，+∞）递增，
而h′（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，h′（1）=e-1＞0，
故存在x₀∈（$\frac{1}{2}$，1）使得函数h（x）在x=x₀处取得极小值，
故h（x₀）≈h（1）=e＞2．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，切线方程问题，是一道中档题．