Question

12．已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且${S_n}=\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}（n∈{N^*}）$，
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{S_n}，{T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}$，若λ≤T_n对于任意n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=1时，a₁=1，当n≥2时，${S_{n-1}}=\frac{{{a_{n-1}}（{a_{n-1}}+1）}}{2}（n≥2）$，与原式相减，即可求得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+a_n-1），由a_n+a_n-1≠0，a_n-a_n-1=1（n≥2），∴数列{a_n}是首项为1公差为1的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${S_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$，${b_n}=\frac{2}{{{n^2}+n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，采用“裂项法”即可求得${T_n}=\frac{2}{{1+\frac{1}{n}}}$，由函数单调性可知，T_n≥T₁=1，可求得λ≤1．

解答 解：（Ⅰ）n=1时，a₁=1，
${S_n}=\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}（n∈{N^*}）$①
当n≥2时，${S_{n-1}}=\frac{{{a_{n-1}}（{a_{n-1}}+1）}}{2}（n≥2）$②
①-②得：${a_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_n}-{a_{n-1}}^2-{a_{n-1}}}}{2}$（n≥2），
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+a_n-1），
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴数列{a_n}是首项为1公差为1的等差数列； （6分）
（Ⅱ）由（1）得：${S_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$，
∴${b_n}=\frac{2}{{{n^2}+n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴${T_n}=2[{（1-\frac{1}{2}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）}]=2（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{2n}{n+1}$，
∵${T_n}=\frac{2}{{1+\frac{1}{n}}}$，
∴T_n单调递增，
∴T_n≥T₁=1，
∴λ≤1．（12分）

点评 本题考查等差数列通项公式的求法，考查采用“裂项法”求数列的前n项和，考查利用函数单调性求实数λ的取值范围，考查计算能力，属于中档题．