Question

20．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x（x∈R），若任意实数x使得f（a-x）+f（ax²-1）＜0成立，则a的取值范围是（-∞，$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 容易判断f（x）在R上为增函数，从而根据条件得出a-x＜1-ax²恒成立，整理成ax²-x+a-1＜0恒成立，从而得出$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，这样解出a的范围即可．

解答 解：f（x）在R上为增函数，且是奇函数；
∴由f（a-x）+f（ax²-1）＜0得，f（a-x）＜f（1-ax²）；
∴a-x＜1-ax²对任意实数x都成立；
即ax²-x+a-1＜0恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=1-4a（a-1）＜0}\end{array}\right.$；
解得$a＜\frac{1-\sqrt{2}}{2}$；
∴a的取值范围是（-∞，$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$）．
故答案为：$（-∞，\frac{1-\sqrt{2}}{2}）$．

点评 考查一次函数和y=ax³的单调性，函数单调性定义，要熟悉二次函数的图象，会解一元二次不等式．