Question

12．在下列四个命题中：
①函数y=sin²x+2cos²x最小正周期是π；
②若向量$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{m}$，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$；
③在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PM}$，则$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-4；
④函数（x）=xsinx在区间[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，在区间[-$\frac{π}{2}$，0]函数f（x）上单调递减．
把你认为正确的命题的序号都填在横线上①，③，④．

Answer 1

分析 （1）考察同角三角函数的转换和周期的判断
（2）是向量的基本概念，属于基础题型
（3）向量的加法和数量积，结合图形分析
（4）考察复合函数单调性的判断．

解答 解：（1）y=1+cos²x=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{3}{2}$，
∴T=π，真命题
（2）零向量与任一向量共线，当向量m为零向量时不成立．假命题
（3）如图：$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{AP}$
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{AP}$²=-4 真命题
（4）f′（x）=sinx+cosx•x
f′（0）=0
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增
当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
故答案为：①，③，④．

点评 分别考察了三角函数的转换和向量的运算．是常规题型，应掌握解题方法．