Question

17．已知下列四个命题：
（1）若ax²-ax-1＜0在R上恒成立，则0＜a＜4；
（2）锐角三角形△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，则$\frac{1}{2}$＜sinB＜1；
（3）已知k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0）恒有公共点，则m∈[1，5）；
（4）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）在[a，b]上有最小值f（b）．
其中的真命题是（2），（4）．

Answer 1

分析 （1）考察二次函数的性质，由函数值恒小于零知开口向下，a＜0；当a=0时，ax²-ax-1＜0在R上恒成立，故-4＜a≤0．
（2）锐角三角形，A=$\frac{π}{3}$，可知B的范围，进而求出sinB的范围．
（3）基本算法联力求解，比较麻烦；数形结合图象法简单明了．
（4）对函数的充分理解和认识，求区间最值，就是判断函数单调性．

解答 解：（1）要使ax²-ax-1＜0在R上恒成立，
当a=0时，-1＜0，在R上恒成立，
当a≠0时，抛物线必须开口向下才能满足题意，同时△＜0，解得-4＜a＜0，
综上可得，a的取值范围为-4＜a≤0，故（1）是假命题；
（2）锐角三角形，A=$\frac{π}{3}$，可知$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$＜sinB＜1，故（2）是真命题；
（3）由直线y-kx-1=0得知，直线恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点（0，1）在y轴上，所以，$\frac{1}{m}$≤1且m＞0，得m≥1，
而根据椭圆的方程中有m≠5，故m的范围是[1，5）∪（5，+∞），故（3）是假命题；
（4）令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
令y=-x，得：f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
对?x₁∈R、x₂∈R，当x₁＜x₂时，x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定义域内是单调递减函数．
故f（x）在[a，b]上有最小值f（b），故（4）是真命题．
故答案为（2），（4）．

点评 此题为综合性试题，考查的知识点多，学生应把握好时间．