Question

【题目】已知圆的圆心为，圆内一条过点的动弦（与轴不重合），过点作的平行线交于点.

（1）求出点的轨迹方程；

（2）若过点的直线交的轨迹方程于不同两点，，为坐标原点，且，点为椭圆上一点，求点到直线的距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）计算得到，得到轨迹为椭圆，计算得到答案.

（2）设直线：，联立方程根据得到，设与直线平行的直线：，解得答案.

（1）由题意可知：，∵，

所以轨迹以，为焦点的椭圆，除去与轴的两个交点，，所以点的轨迹方程为.

（2）设直线：联立，得：，

所以， （1）

因为 （2）

由（1）（2）求得，

由于椭圆对称性，不妨取，则直线：，

数形结合可知，直线平行的直线与椭圆相切，切点之一为所求点，

所以设与直线平行的直线：联立，

，由，

所以此时到直线的距离.