Question

在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 、 的距离之和等于4，设点 P 的轨迹为 C ，直线 y ＝ kx +1与 C 交于 A 、 B 两点．

（1）写出 C 的方程；

（2）若 ，求 k 的值；

（3）若点 A 在第一象限，证明当 k ＞0时，恒有 .

Answer 1

（1） 解： 设 P ( x ， y )，由椭圆的定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 、 为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴 ，

故曲线 C 的方程为 .

（2） 解： 设 A ( x ₁ ， y ₁ )， B ( x ₂ ， y ₂ )，其坐标满足

消去 y 并整理得( k ² +4) x ² +2 kx －3＝0，

故 ，

若 ，则 x ₁ x ₂ + y ₁ y ₂ ＝0.

而 y ₁ y ₂ ＝ k ² x ₁ x ₂ + k ( x ₁ + x ₂ )+1，

于是 ，

化简得－4 k ² +1＝0，所以 .

（3）证明：

.

因为点 A 在第一象限，故 x ₁ ＞0.

由 知 x ₂ ＜0，

从而 x ₁ － x ₂ ＞0.

又 k ＞0，故 ，

即在题设条件下，恒有 .