Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ（n∈N^*）
（1）设b_n=

an-2n

3n

，证明：数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设C_n=

an+1

an

（n∈N^*），是否存在k∈N^*，使得C_n≤C_k对一切正整数n均成立，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的定义和通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）计算c_n-c₁≤0即可得出．

解答： （1）证明：∵b_n+1-b_n=

an+1-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=

3an+3n+1-2n-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=

3an+3n+1-3•2n+1-3an+3•2n+1

3n+1

=

3n+1

3n+1

=1，
b1=

a1-2

3

=0，
∴数列{b_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
∴b_n=0+（n-1）×1=n-1，
∴n-1=

an-2n

3n

，
∴an=2n+(n-1)•3n．
（2）令数列{（n-1）•3ⁿ}的前n项和为T_n，
则T_n=0+1×3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ，
    3Tn=1×33+2×3⁴+…+（n-2）•3ⁿ+（n-1）•3ⁿ⁺¹，
两式相减得-2T_n=3²+3³+…+3ⁿ-（n-1）•3ⁿ⁺¹=

3n-1

3-1

-3-(n-1)•3n+1，
∴T_n=-

1-3n

4

+

3

2

+

(n-1)•3n+1

2

．
∵2¹+2²+…+2ⁿ=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=2n+1-2+

1-3n

4

+

3

2

+

(n-1)•3n+1

2

=2n+1-

(6n-7)•3n+1-1

4

；
（3）c_n-c₁=

an+1

an

-

a2

a1

=

an+1a1-ana2

ana1

，
∵分子=[2ⁿ⁺¹+n•3ⁿ⁺¹]×2-13[2ⁿ+（n-1）•3ⁿ]
=-9•2ⁿ-（7n-13）•3ⁿ≤0，
当且仅当n=1时取等号．
故存在正整数k=1，使得C_n≤C₁对一切正整数n均成立．

点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、“错位相减法”、“作差法”、等比数列的前n项和公式等是解题的关键．