Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数x₁，x₂，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立，f（1）=1，且对任意正整数n，有an=

1

f(n)

，bn=f(

1

2n

)+1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记Sn=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较

4

3

Sn与T_n的大小关系．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用对任意实数x₁，x₂，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立，f（1）=1，可令x₁=x，x₂=1，得f（x+1）-f（x）=2，利用累加求和可得f（x）=（f（x）-f（x-1））+（f（x-1）-f（x-2））+…+（f（2）-f（1））+f（1）=2x-1，分别令x=n，x=

1

2n

，即可得出a_n，b_n；
（2））由anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用累加求和即可得出S_n．利用bnbn+1=

1

2n-1

•

1

2n

=

1

22n-1

，T_n=

1

2

+

1

23

+…+

1

22n-1

利用等比数列的前n项和公式即可得出．利用作差法

4

3

Sn-Tn=

4n

3(2n+1)

-

2

3

(1-

1

4n

)=

2

3

(

1

4n

-

1

2n+1

)．利用二项式定理可得4ⁿ=2²ⁿ=（1+1）²ⁿ=1+

C

1 2n

+

C

2 2n

+…＞1+2n．即可得出．

解答： 解：（1）∵对任意实数x₁，x₂，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立，f（1）=1，
∴可令x₁=x，x₂=1，得f（x+1）-f（x）=2，∴f（x）=（f（x）-f（x-1））+（f（x-1）-f（x-2））+…+（f（2）-f（1））+f（1）=2x-1，
∴令x=n，则an=

1

2n-1

；
令x=

1

2n

，则b_n=

2

2n

-1+1=

1

2n-1

．
（2）∵anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，∴S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∵bnbn+1=

1

2n-1

•

1

2n

=

1

22n-1

，∴T_n=

1

2

+

1

23

+…+

1

22n-1

=

1 2 [( 1 4 )n-1]

1 4 -1

=

2

3

(1-

1

4n

)．
∴

4

3

Sn-Tn=

4n

3(2n+1)

-

2

3

(1-

1

4n

)=

2

3

(

1

4n

-

1

2n+1

)．
∵4ⁿ=2²ⁿ=（1+1）²ⁿ=1+

C

1 2n

+

C

2 2n

+…＞1+2n．
∴

1

4n

＜

1

2n+1

，∴

1

4n

-

1

2n+1

＜0．
∴

4

3

Sn＜Tn．

点评：利用累加求和、裂项求和、等比数列的前n项和公式、作差法、二项式定理、不等式的性质等是解题的关键．