Question

如图所示，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB=y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在公路GH上），现向公路和中转站分别修两条简易公路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果中转站四周围墙造价为l0万元/千米，公路造价为30万元/千米，问x取何值时，建中转站和道路总造价M最低．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出BC，再在△ABC中，利用余弦定理，即可得到y关于x的函数解析式；
（2）确定建中转站和道路总造价解析式，利用换元法，结合基本不等式，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵AB=y，AB=AC+1，∴AC=y-1．
在直角三角形BCF中，∵CF=x，∠ABC=60°，
∴∠CBF=30°，BC=2x．
由于2x+y-1＞y，得x＞

1

2

．
在△ABC中，∵AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°，
∴（y-1）²=y²+4x²-2xy
∴y=

4x2-1

2(x-1)

∵y＞0，x＞

1

2

，∴x＞1
∴y关于x的函数解析式是y=

4x2-1

2(x-1)

(x＞1)；
（2）M=30（2y-1）+40x=10(

12x2-3

x-1

-3+4x)
令x-1=t，则M=10（16t+

9

t

+25）≥490
当且仅当t=

3

4

，x=

7

4

，y=

15

2

时，总造价M最低．

点评：本题考查函数解析式，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．