Question

《选修4-4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），直线 与曲线C分别交于M，N．
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：综合题

分析：（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的普通方程；直接消掉参数t可得直线l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得关于t的二次方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，得|MN|²=|PM||PN|，变形后代入韦达定理可得a的方程；

解答： 解：（1）由ρsin²θ=2acosθ，得ρ²sin²θ=2aρcosθ，即y²=2ax，
由

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

消掉t，得y=x-2，
所以曲线C和直线l的普通方程分别为：y²=2ax，y=x-2；
（2）把直线l的参数方程代入y²=2ax，得t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，
则有t1+t2=2

2

(4+a)，t₁t₂=8（4+a），
因为|MN|²=|PM||PN|，
所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=t₁t₂，即8（4+a）²=5×8（4+a），
解得a=1；

点评：本题考查参数方程、简单的极坐标方程及其与普通方程的互化，考查直线参数方程中参数的意义，考查等比数列的基础知识．