Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（-1）ⁿ（a_n•${2^{a_n}}$+$\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}}-\sqrt{a_n}}}$），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推公式得到a_n=n，
（Ⅱ）化简得到b_n=n•（-2）ⁿ+（-1）ⁿ（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$），设数列{n•（-2）ⁿ}的前n项和为A_n，数列$\left\{{{{（-1）}^n}（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}\right\}$的前n项和为B_n，对于A_n用错位相减法即可求出，对于Bn裂项求和，继而得到数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n（n+1）}{2}-\frac{（n-1）n}{2}=n$．
又a₁=1也满足上式，所以a_n=n．
（Ⅱ）${b_n}={（-1）^n}（{a_n}•{2^{a_n}}+\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}}-\sqrt{a_n}}}）={（-1）^n}（n•{2^n}+\frac{1}{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}）=n•{（-2）^n}+{（-1）^n}（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）$．
设数列{n•（-2）ⁿ}的前n项和为A_n，数列$\left\{{{{（-1）}^n}（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}\right\}$的前n项和为B_n，
则${A_n}=1•（-2）+2•{（-2）^2}+3•{（-2）^3}+…+n•{（-2）^n}$，
$-2{A_n}=1•{（-2）^2}+2•{（-2）^3}+3•{（-2）^4}+…+（n-1）•{（-2）^n}+n•{（-2）^{n+1}}$，
所以$3{A_n}=（-2）+{（-2）^2}+{（-2）^3}+…+{（-2）^n}-n•{（-2）^{n+1}}$=$\frac{{（-2）-{{（-2）}^n}•（-2）}}{1-（-2）}-n•{（-2）^{n+1}}=-\frac{2}{3}-\frac{3n+1}{3}•{（-2）^{n+1}}$，
所以${A_n}=-\frac{2}{9}-\frac{3n+1}{9}•{（-2）^{n+1}}$．
又${B_n}=-（\sqrt{2}+1）+（\sqrt{3}+\sqrt{2}）-（\sqrt{4}+\sqrt{3}）+…+{（-1）^n}•（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）$=${（-1）^n}•\sqrt{n+1}-1$．
所以${T_n}=-\frac{2}{9}-\frac{3n+1}{9}•{（-2）^{n+1}}+{（-1）^n}•\sqrt{n+1}-1$=$-\frac{11}{9}-\frac{3n+1}{9}•{（-2）^{n+1}}+{（-1）^n}•\sqrt{n+1}$．
（说明：也可写成${T_n}\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{11}{9}-\frac{3n+1}{9}•{{（-2）}^{n+1}}-\sqrt{n+1}，n为奇数}\\{-\frac{11}{9}-\frac{3n+1}{9}•{{（-2）}^{n+1}}+\sqrt{n+1}，n为偶数}\end{array}}\right.$同样给分）

点评 本题主要考查数列的通项公式和数列求和，要求熟练掌握错位相减法和裂项求和，考查学生的运算能力，属于中档题．