Question

20．已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R．定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：当$m＞\frac{1}{4}$时，总能找到k∈N^*，使得a_k＞2015．

Answer 1

分析 （1）利用函数的解析式，通过n=2，3，4，求出结果．
（2）解法一：假设存在实数m，使得a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列．求出a₂，a₃，a₄，利用a₂，a₃，a₄成等差数列，求出$m=1±\sqrt{2}$即可．
方法二：通过a₃-a₂=a₄-a₃，求出$m=-1±\sqrt{2}$，使得a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列．
（3）通过a_n+1-a_n$≥m-\frac{1}{4}$，利用a_n-a_n-1≥t，a_n-1-a_n-2≥t，…，a₂-a₁≥t，累加推出a_n≥（n-1）t，通过a_k＞2015成立，转化（k-1）t＞2015，得到结论，总能找到k∈N^*，使得a_k＞2015．

解答 （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（6分），第3小题满分（8分）．
解：（1）因为m=1，故f（x）=x²+1，…（1分）
因为a₁=0，所以a₂=f（a₁）=f（0）=1，…（2分）
a₃=f（a₂）=f（1）=2，…（3分）
a₄=f（a₃）=f（2）=5．…（4分）
（2）解法一：假设存在实数m，使得a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列．
则得到a₂=f（0）=m，a₃=f（m）=m²+m，a₄=f（a₃）=（m²+m）²+m．…（2分）
因为a₂，a₃，a₄成等差数列，所以2a₃=a₂+a₄，…（3分）
所以，2（m²+m）=（m²+m）²+m+m，化简得（m²+2m-1）m²=0，
解得m=0（舍），m=-1$±\sqrt{2}$．…（5分）
经检验，此时a₂，a₃，a₄的公差不为0，
所以存在$m=1±\sqrt{2}$，使得a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列．  …（6分）
方法二：因为a₂，a₃，a₄成等差数列，所以a₃-a₂=a₄-a₃，
即a₂²+m-a₂=a₃²+m-a₃，…（2分）
所以（a₃²-a₂²）-（a₃-a₂）=0，即（a₃-a₂）（a₃+a₂-1）=0．
因为公差d≠0，故a₃-a₂≠0，所以a₃+a₂-1=0，解得m=-1$±\sqrt{2}$． …（5分）
经检验，此时a₂，a₃，a₄的公差不为0．
所以存在$m=-1±\sqrt{2}$，使得a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列．  …（6分）
（3）因为a_n+1-a_n=a_n²+m-a_n=（a_n-$\frac{1}{2}$）²+（$m-\frac{1}{4}$）$≥m-\frac{1}{4}$，…（2分）
又 m$＞\frac{1}{4}$，所以令$t=m-\frac{1}{4}≥0$…（3分）
由a_n-a_n-1≥t，a_n-1-a_n-2≥t，…，a₂-a₁≥t，
将上述不等式全部相加得a_n-a₁≥（n-1）t，即a_n≥（n-1）t，…（5分）
因此要使a_k＞2015成立，只需（k-1）t＞2015，
所以，只要取正整数$k＞\frac{2015}{t}+1$，就有${a_k}≥（k-1）t＞\frac{2015}{t}•t=2015$．
综上，当$m＞\frac{1}{4}$时，总能找到k∈N^*，使得a_k＞2015．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，数列求和，数列与不等式相结合，考查分析问题解决问题的能力．