Question

设数列的前项和为，且对任意的，都有，．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：．

Answer 1

（1）   （2） （3）见解析

 （1）解：当时，有，
由于，所以．
当时，有，即，
将代入上式，由于，所以．
（2）解：由，
得，                           ①
则有．              ②
②－①，得，
由于，所以．                 ③
同样有，                      ④
③－④，得．
所以．
由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
故．
（3）证明1：由于，
，
所以．
即．
令，则有．
即，
即
故．
证明2：要证，
只需证，
只需证，
只需证．
由于


．
因此原不等式成立．