Question

【题目】已知定义在上的函数满足：

①对于任意的，都有；

②当时，，且．

(1)求，的值，并判断函数的奇偶性；

(2)判断函数在上的单调性；

(3)求函数在区间上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）为偶函数；（2）在上是增函数；（3）2.

【解析】

（1）先求f（﹣1）的值，令y=﹣1，推出f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），f（﹣x）=f（x）．结合函数奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性；

（2）利用函数单调性的定义，直接判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；

（3）通过（1），（2）奇偶性，单调性，直接求函数f（x）在区间[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值；

（1）令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；

再令x=y=﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1），得f（﹣1）=0．

对于条件f（xy）=f（x）+f（y），令y=﹣1，

则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）=f（x）．

又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数．

（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则有．

又∵当x＞1时，f（x）＞0，

∴f（）＞0

而＞f（x1），

所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，

∴f（4）=2．

又由（1）知函数f（x）在区间[﹣4，0）∪（0，4]上是偶函数且在（0，4]上是增函数，

∴函数f（x）在区间[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值为f（4）=f（﹣4）=2．