Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n﹣1
（1）求证：数列{an+n}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项和前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n﹣1，变形为an+1+（n+1）=2（an+n）．

∴数列{an+n}是等比数列，其中首项为a1+1=2，公比为2；

（2）解：由（1）可得： ，∴ ．

∴Sn= =2n+1﹣2﹣

【解析】（1）由数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n﹣1，变形为an+1+（n+1）=2（an+n）即可证明；（2）利用等比数列的通项公式、等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比关系的确定的相关知识，掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．