定义在R上的单调函数满足且对任意都有.
(1)求证为奇函数;
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
(1)证明:利用“赋值法”,确定f(0)=0,再
计算f(x)+f(-x)=0.
(2) t=3>0,换元后,问题等价于t-(1+k)t+2>0
假设,当时,对任意恒成立.
解析试题分析:
思路分析:(1)证明:利用“赋值法”,确定f(0)=0,再
计算f(x)+f(-x)=0.
(2) t=3>0,换元后,问题等价于t-(1+k)t+2>0
假设,应用二次函数的图象和性质进一步求解。
(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R), ①
令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
令y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,
则有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函数.
(2)解:>0,即f(3)>f(0),又在R上是单调函数,
所以在R上是增函数
又由(1)f(x)是奇函数.f(k·3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2),
∴ k·3<-3+9+2,3-(1+k)·3+2>0对任意x∈R成立.
令t=3>0,问题等价于t-(1+k)t+2>0
对任意t>0恒成立.
令,其对称轴
当即时,符合题意;
当时,对任意,恒成立
解得
综上所述,当时,对任意恒成立.
考点:函数的单调性,指数函数的性质,二次函数的图象和性质。
点评:中档题,本题涉及抽象函数问题,一般要考虑应用“赋值法”,确定所需数据。本题通过换元,将问题转化成二次函数的图象和性质应用问题,具有“化生为熟”的示范作用。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为.
(Ⅰ)已知函数,若且,求实数的取值范围;
(Ⅱ)已知,且的部分函数值由下表给出,
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为的均匀介质,两侧的温度差为,单位时间内,在单位面积上通过的热量,其中为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为,空气的热传导系数为.)
(1)设室内,室外温度均分别为,,内层玻璃外侧温度为,外层玻璃内侧温度为,且.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用,及表示);
(2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计的大小?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(14分)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.
(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,证明:x2﹣x1≥1;
(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
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