已知函数
的定义域为
，若
在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若
在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
，所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.
(Ⅰ)已知函数
，若
且
，求实数
的取值范围；
(Ⅱ)已知
，
且
的部分函数值由下表给出，
 |  |  |  |  |
|  | |  |  |
；
，使得
，
，有
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. （I）
(Ⅱ)见解答(Ⅲ)
.
解析试题分析：（I）理解且的意义,代入后利用函数的性质求解; (Ⅱ)通过表格得到
，再运用
为增函数建立不等式，导出
，运用
即可. (Ⅲ)判断
即运用反证法证明
,如果
使得
则利用
即
为增函数一定可以找到一个
，使得
，对
成立;同样用反证法证明证明
在上无解;从而得到，
对成立,即存在常数
，使得，
，有
成立,选取一个符合条件的函数
判断
的最小值是 ,由上面证明结果确定 即是符合条件的所有函数的结果.
试题解析：（I）因为
且
，
即
在
是增函数，所以
2分
而
在不是增函数，而
当
是增函数时，有
，所以当不是增函数时，.
综上得 4分
(Ⅱ) 因为，且
所以
，
所以
，
同理可证
，
三式相加得
所以 6分
因为
所以
而
，所以
所以
8分
(Ⅲ) 因为集合
且存在常数
,使得任取
所以，存在常数 ，使得
对成立
我们先证明对
课课优能力培优100分系列答案
优百分课时互动系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量
（单位：千克）与销售价格
（单位：元/千克）满足关系式
，其中
，
为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
我省某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值
万元与投入
万元之间满足：
为常数。当
万元时，
万元；
当
万元时，
万元。 （参考数据：
）
（1）求
的解析式；
（2）求该景点改造升级后旅游利润
的最大值。（利润＝旅游增加值－投入）。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
（I）求函数
的极值；
（II）对于函数
和
定义域内的任意实数
,若存在常数
,使得不等式
和
都成立,则称直线
是函数和的“分界线”．
设函数
，
，试问函数和是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程．若不存在请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
，函数
。
（I）记
求
的表达式；
（II）是否存在
，使函数
在区间
内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
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，若
且对任意实数
均有
成立.
表达式；
是单调函数，求实数
的取值范围.
上的函数
对任意
都有
（
为常数）.
，
，若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
满足
且对任意
都有
．
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．