Question

若f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0．
（1）求b与c的值；
（2）试证明函数y=f（x）在区间（2，+∞）上是增函数；
（3）求f（x）在[0，5）上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据条件分别求出b，c，
（2）利用二次函数的图象和性质求出函数的对称轴即可．
（3）根据函数对称轴和区间的关系即可求出函数的值域以及函数的最值．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x²+bx+c，f（1）=0，f（3）=0．
∴1+b+c=0且9+3b+c=0，
解得b=-4，c=3．
（2）∵b=-4，c=3．
∴f（x）=x²+bx+c=x²-4x+3=（x-2）²-1，
则对称轴为x=2，
∴函数y=f（x）在区间（2，+∞）上是增函数；
（3）∵f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1的对称轴为x=2，
∴当x=2时，函数取得最小值-1，
当x=5时，函数取得最大值f（5）=8，
故-1≤f（x）≤8，
即函数的值域为[-1，8]．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键，利用配方法，结合对称轴和定义区间的关系即可求函数的最值．