Question

定义在实数集R上的奇函数f（x），对任意实数x都有f（

3

4

+x）=f（

3

4

-x），且满足f（1）＞-2，f（2）=m-

3

m

，则实数m的取值范围是（　　）

• A、-1＜m＜3
• B、0＜m＜3
• C、0＜m＜3或m＜-1
• D、m＞3或m＜-1

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先由题意求出函数为3为周期的周期函数，再根据函数为奇函数得到f（2）＜2，代入解不等式即可．

解答： 解：∵f（

3

4

+x）=f（

3

4

-x），
用x+

3

4

代换x得，
∴f（x+

3

2

）=f（-x）=-f（x），
再用x+

3

2

代换x得，
∴f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
∴函数为以3为周期的周期函数，
∴f（x）=-f（-x），f（1）=-f（-1），f（-1）=f（2），
∴-f（2）=-f（-1）=f（1）＞-2，
∴f（2）＜2，
∴f（2）=m-

3

m

＜2，
解得0＜m＜3，或m＜-1，
故选：C

点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题．