Question

已知函数f（x）=ax²+x-1+3a（a∈R），
（1）若a=

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3

，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在区间[-1，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）a=

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，f（x）=ax²+x-1+3a=0可得

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x²+x=0，求出x，即可求函数f（x）的零点；
（2）当a=0时，f（x）=x-1满足条件；当a≠0时，函数f（x）在区间[-1，1]上有零点分为三种情况：①方程f（x）=0在区间[-1，1]上有重根，②若函数y=f（x）在区间[-1，1]上只有一个零点，但不是f（x）=0的重根，分类讨论求出满足条件的a的范围后，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）a=

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，f（x）=ax²+x-1+3a=0可得

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x²+x=0，所以x=0或-3，
即函数f（x）的零点是0或-3；
（2）当a=0时，f（x）=x-1，令f（x）=0，得x=1，是区间[-1，1]上的零点．
当a≠0时，函数f（x）在区间[-1，1]上有零点分为两种情况：
①方程f（x）=0在区间[-1，1]上有重根，
令△=1-4a（-1+3a）=0，解得a=-

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6

或a=

1

2

．
当a=-

1

6

时，令f（x）=0，得x=3，不是区间[-1，1]上的零点．
当a=

1

2

时，令f（x）=0，得x=-1，是区间[-1，1]上的零点．
②若函数y=f（x）在区间[-1，1]上只有一个零点，但不是f（x）=0的重根，
令f（1）f（-1）=4a（4a-2）≤0，解得0＜a≤

1

2

．
综上可知，实数a的取值范围为[0，

1

2

]．

点评：本题考查二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题．