Question

2．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E，F分别为A₁B₁，B₁C₁的中点，则直线BE与直线CF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BE与直线CF所成角的余弦值．

解答 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E，F分别为A₁B₁，B₁C₁的中点，
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），E（1，0，2），C（0，2，0），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），F（1，1，2），
$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{CF}$=（1，-1，2），
设异面直线BE与直线CF所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴直线BE与直线CF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

点评 本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．