Question

（本小题满分14分）已知函数

（1）求的单调区间和极值；

（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围；

（3）当时，探究当时，函数的图像与函数图像之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）当a≤0时，在（0，＋∞）上单调递增，无极值；当a＞0时，函数的增区间为，减区间为，在 取得极小值，极小值为；（2）a∈；（3）略．

【解析】

试题分析：（1），若a≤0，则，在（0，＋∞）上单调递增；

若a＞0，则由解得；由解得，

此时函数的增区间为，减区间为．

当a＞0时，则在 取得极小值，极小值为；

当a≤0时时，无极值．

（2），

设，

若在上不单调，则，∴，∴，

同时仅在处取得最大值，

∴只要g（e）＞g（1）即可得出： ，

故的范围：

（3）结论：在区间上，函数的图像总在函数 图像的上方．

即证当x＞1时，f（x）＞h（x），即lnx＋1＜x．

设m（x）＝lnx＋1－x，则，

有m（x）在（1，＋ ∞）上单调递减，∴m（x）＜m（1），得证．

考点：考查了利用导数研究函数的单调性和极值，证明不等式．