Question

14．已知-π＜x＜0，$sinx+cosx=\frac{1}{5}$．
（1）求sinx-cosx的值；　
（2）求$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{tanx+\frac{1}{tanx}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系求得x为第四象限角，2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$，再根据 sinx-cosx=-$\sqrt{{（sinx-cosx）}^{2}}$，计算求得结果．
（2）由条件求得sinx+cosx和sinx-cosx的值，可得sinx和cosx、tanx的值，从而求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵-π＜x＜0，$sinx+cosx=\frac{1}{5}$，∴1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，
∴2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$，故x为第四象限角，sinx＜0，cosx＞0，
∴sinx-cosx=-$\sqrt{{（sinx-cosx）}^{2}}$=-$\sqrt{1-2sinxcosx}$=-$\frac{7}{5}$．
（2）由（1）可得sinx-cosx=-$\frac{7}{5}$，$sinx+cosx=\frac{1}{5}$，
∴sinx=-$\frac{3}{5}$，cosx=$\frac{4}{5}$，tanx=-$\frac{3}{4}$，
$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{tanx+\frac{1}{tanx}}$=$\frac{3•\frac{1-cosx}{2}-sinx+\frac{1+cosx}{2}}{tanx+\frac{1}{tanx}}$=$\frac{2-cosx-sinx}{tanx+\frac{1}{tanx}}$
=$\frac{2-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}-\frac{4}{3}}$=-$\frac{108}{125}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．