Question

【题目】已知函数在与处都取得极值．

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)，的减区间为，增区间为；(2).

【解析】

求出并令得到方程，把和代入即可求出的值，判断出导函数的符号，即可得到函数的单调区间

求出函数的最大值为，要使不等式恒成立，即要证明，即可求出的取值范围

(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得

即

解得

∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.

令f′(x)<0，解得－1<x<2；

令f′(x)>0，解得x<－1或x>2.

∴f(x)的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．

(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．

∴x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为f(－1)与f(3)中的较大者．

f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.

∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．

要使f(x)＋c<c2，

只需c2>f(－1)＋c，

即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.

∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(，＋∞)．