【题目】（1）已知
，证明： 
；
（2）已知 
，求证： 
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用分析法， 
，要证
，只要证
，只要证
，只需证明
即可，该式显然成立，从而可得结论；(2)本题是一个全部性问题,要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法,假设
,不全是正数,这时需要逐个讨论
不是正数的情形,但注意到条件的特点(任意交换
的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数〔例如
，其他两个数〔例如
〕与这种情形类似.
试题解析：（1）证明： 
，要证
，只要证
，只要证
，即证
，而
恒成立，故
成立.
（2）假设
不全是正数，即其至少有一个不是正数，不妨先设
，下面分
和
两种情况讨论，如果
，则
与
矛盾， 
不可能，如果
，那么由
可得， 
，又
，于是
，这和已知
相矛盾，因此， 
也不可能，综上所述， 
，同理可证
，所以原命题成立.
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
南大教辅抢先起跑暑假衔接教程南京大学出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设椭圆E： 
+y2=1（a＞1）的右焦点为F，右顶点为A，已知 
，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）动直线l过点N（﹣2，0），l与椭圆E交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f（x）= 
（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的极大值为 
，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成
， 
， 
， 
， 
， 
六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数
内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为 
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
满足
.
（1）若的定义域为
，且
对定义域内所有
都成立，求
；
（2）若的定义域为
时，求的值域；
（3）若的定义域为，设函数
，当
时，求
的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）
（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？
（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2 
sin2ωx﹣ （ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移 
个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在 
上的最值．
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