Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=$\frac{\sqrt{3}+{a}_{n}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*），S_n为数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₅=0．

Answer 1

分析 a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=$\frac{\sqrt{3}+{a}_{n}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*），可得a₂=-$\sqrt{3}$，a₃=0，a₄=$\sqrt{3}$，…，a_n+3=a_n．即可得出．

解答 解：∵a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=$\frac{\sqrt{3}+{a}_{n}}{1-\sqrt{3}{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴a₂=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，a₃=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}×（-\sqrt{3}）}$=0，
a₄=$\frac{\sqrt{3}+0}{1-0}$=$\sqrt{3}$，…，
∴a_n+3=a_n．
∴a₁+a₂+a₃=0，
∴S₂₀₁₅=（a₁+a₂+a₃）×671+a₁+a₂=0，
故答案为：0．

点评 本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．