Question

已知函数f（x）=2x²，g（x）=alnx（a＞0）．
（1）当a=16时，试求函数F（x）=f（x）-g（x）在[1，3]上的值域；
（2）若直线l交f（x）的图象C于A，B两点，与l平行的另一直线l′与图象C切于点M．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（3）若函数F（x）的图象上没有任何一点在x轴的下方，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数求闭区间上函数的最值,等差关系的确定

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=16时，求出F/(x)=4x-

16

x

，令F′（x）=0，求出极值点，判断函数的单调性，即可求解函数的最值，得到函数的值域．
（2）设A，M，B两点的横坐标分别为x_A，x_M，x_B；直线l的方程为y=kx+m．联立直线与抛物线方程，结合韦达定理得到xA+xB=

k

2

，利用函数的导数f′（x）=4x，求出x_A+x_B=2x_M．即可证明A，M，B三点的横坐标成等差数列．
（3）利用F（x）≥0恒成立．求解F/(x)=4x-

a

x

=

4x2-a

x

．令F′（x）=0，判断函数的单调性，求出函数的最小值，通过F（x）_min≥0，即可求出a的范围．

解答： （本小题满分14分）
（1）解：当a=16时，函数F（x）=2x²-16lnx（x＞0）．
易知F/(x)=4x-

16

x

，令F′（x）=0，即4x-

16

x

=0，解得x=2．…（1分）
在区间（1，2）上，F′（x）＜0，∴函数F（x）在（1，2）上单调递减；
在区间（2，3）上，F′（x）＞0，∴函数F（x）在（2，3）上单调递增；…（2分）
∴x=2是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，F（x）_min=F（2）=8-16ln2； …（3分）
又F（1）=2，F（3）=18-16ln3，
而F（3）-F（1）=16（1-ln3）＜0，故F（x）_max=F（1）=2； …（4分）
∴函数F（x）的值域为[8-16ln2，2]．…（5分）
（2）证明：设A，M，B两点的横坐标分别为x_A，x_M，x_B；直线l的方程为y=kx+m．
由

y=2x2 y=kx+m

得2x²-kx-m=0．∴xA+xB=

k

2

…①．…（7分）
又f′（x）=4x，∴k=f′（x_M）=4x_M…②…（8分）
将②代入①中得x_A+x_B=2x_M．
∴A，M，B三点的横坐标成等差数列．…（9分）
（3）解：依题意，F（x）≥0恒成立．F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx（x＞0）
F/(x)=4x-

a

x

=

4x2-a

x

．令F′（x）=0，解得x=

a

2

．…（10分）
在区间(0，

a

2

)上，F′（x）＜0，
∴函数F（x）在(0，

a

2

)上单调递减；
在区间(

a

2

，+∞)上，F′（x）＞0，
∴函数F（x）在(

a

2

，+∞)上单调递增； …（11分）
∴x=

a

2

是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，F(x)min=F(

a

2

)=

a

2

-aln

a

2

．…（12分）
欲满足题意，只需F（x）_min≥0，即

a

2

-aln

a

2

≥0，注意到a＞0，
故

1

2

-ln

a

2

≥0，解之得0＜a≤4e．…（14分）

点评：本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．