Question

已知抛物线C：y²=2x
（1）求抛物线C上点P到B(-

1

2

，1)的距离与P到直线x=-

1

2

的距离之和的最小值；
（2）直线y=x-b与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，O为坐标原点，求b的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据抛物线的方程求出焦点F的坐标、准线方程，利用抛物线的定义将所求的而距离和进行转化，利用三角形三边的关系求出最小值；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y_，2），联立直线方程和抛物线方程消去y得到关于x的方程，利用韦达定理求出x₁+x₂、x₁x₂以及b的范围，利用向量垂直的条件和数量积的运算列出方程，求出b的值．

解答： 解：（1）由抛物线C：y²=2x得，焦点F（

1

2

，0）、准线方程x=-

1

2

，
由抛物线的定义得，P到直线x=-

1

2

的距离d=|PF|，
所以|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|=

2

，
即所求的最小值是

2

；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y_，2），
由

y2=2x y=x-b

得，x²-（2b+2）x+b²=0，
所以△=（2b+2）²-4b²=8b+4＞0，得b＞-

1

2

，
x₁+x₂=2b+2，x₁x₂=b²，
由OA⊥OB得，

OA

•

0B

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
x₁x₂+（x₁-b）（x₂-b）=0，
2x1x2-b(x1+x2)+b2=0
所以2b²-b（2b+2）+b²=0，即b²-2b=0，
解得b=0或b=2，
又b≠0，所以b=2．

点评：本题考查抛物线的方程以及定义，向量垂直的条件和数量积的运算，以及设而不求思想，考查化简计算能力．