Question

已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．动点P满足

AP

•

BP

=k|

PC

|²．（其中k为常数）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：根据题意，给出

AP

=（x，y-1），

BP

=（x，y+1），

PC

=（1-x，-y），由

AP

•

BP

=k|

PC

|²建立关于x、y的方程，化简得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0．根据k是否等于1讨论，可得方程所表示的曲线类型．

解答： 解：（1）设动点P（x，y），可得

AP

=（x，y-1），

BP

=（x，y+1），

PC

=（1-x，-y），
∵

AP

•

BP

=k|

PC

|²，
∴x²+y²-1=k（x-1）²+ky²
化简得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0
①当k=1时，方程为x=1，表示直线；…5分
②当k≠1时，方程为(x-

k

k-1

)2+y2=(

1

k-1

)2，
方程表示（

k

k-1

，0）为圆心、

1

|k-1|

为半径的圆．

点评：本题给出动点P满足的条件，求P的轨迹方程，并求向量模的取值范围．着重考查了向量的坐标运算、向量数量积的运算性质和动点轨迹方程求法等知识，属于中档题．