Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2nx+anan+1=0 (n∈N*)的两实根，且a₁=1，记数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a₂，a₃；
（2）求证：数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（3）设b_n=a_na_n+1，问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由韦达定理可得an+an+1=2n，由a₁=1可求得a₂=1，a₃=3；
（2）由等比数列的定义可知

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

为常数-1，可得结论；
（3）由（2）得a_n的通项公式，问题转化为对?n∈N^*

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，(n∈N*)都成立，分n为奇数和偶数分类讨论可得．

解答： 解：（1）∵a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2nx+anan+1=0 (n∈N*)的两实根，
∴an+an+1=2n，又∵a₁=1，∴a₂=1，a₃=3；
（2）∵

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1，
∴数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列；
（3）由（2）得an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，an=

1

3

[2n-(-1)n]，
∴Sn=a1+a2+…+an=

1

3

(2+22+23+…+2n)-

1

3

[(-1)+(-1)2+…+(-1)n]=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]
又bn=an•an+1=

1

9

[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2

)

n

-1]，
要使b_n＞λS_n，对?n∈N^*都成立，
即

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，(n∈N*)（*），
①当n为正奇数时，由（*）式得：

1

9

[22n+1+2n-1]-

λ

3

(2n+1-1)＞0，
即

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

λ

3

(2n+1-1)＞0，∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜

1

3

(2n+1)对任意正奇数n都成立，
故

1

3

(2n+1)(n为正奇数）的最小值为1．∴λ＜1；
②当n为正偶数时，由（*）式得：

1

9

(22n+1-2n-1]-

λ

3

(2n+1-2)＞0，
即

1

9

(22n+1+1)(2n-1)-

2λ

3

(2n-1)＞0，∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜

1

6

(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，
故

1

6

(2n+1+1)(n为正偶数）的最小值为

3

2

．∴λ＜

3

2

．
综上所述得，存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，λ的取值范围为（-∞，1）

点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的判断和分类讨论以及恒成立问题，属中档题．