Question

使函数f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）的图象关于原点对称，且满足?x₁，x₂∈[0，

π

4

]，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0的θ的一个值是（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  2π

  3

• C、

  4π

  3

• D、

  5π

  3

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：依题意知y=f（x）为R上的奇函数，由f（0）=sin（θ+

π

3

）=0，可得θ=kπ-

π

3

（k∈Z），排除A、C、D，对B选项，利用已知信息验证即可．

解答： 解：∵f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+

π

3

）的图象关于原点对称，
∴y=f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=sin（θ+

π

3

）=0，
∴θ+

π

3

=kπ（k∈Z），θ=kπ-

π

3

（k∈Z），可排除A、C、D，
又?x₁，x₂∈[0，

π

4

]，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴当x∈[0，

π

4

]时，f（x）为减函数，
对于B，当θ=

2π

3

时，f（x）=2sin（2x+π）=-2sin2x在[0，

π

4

]上为减函数，符号题意，
故选：B．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，求得θ=kπ-

π

3

（k∈Z），排除A、C、D是关键，看出正弦函数的单调性与奇偶性，考查转化思想．