Question

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E、F分别在线段上，B1E=3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.

（1）求证：BC⊥AC1；

（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF／／平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要以三棱柱为几何背景考查线线垂直,线面垂直、线面平行、面面平行等数学知识，考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，考查学生的数形结合思想.第一问，由于AA1⊥面ABC，所以利用线面垂直的性质得垂直面内的线BC，而，利用线面垂直的判定得面，所以BC垂直于面内的线；第二问，法一：先找到F点的位置，再证明，作出辅助线，因为，所以得到，而，即，所以且，所以四边形AFEG为平行四边形，所以，所以利用线面平行的判定得平面；法二：作出辅助线，利用线面平行的判定，可以推断出平面，平面，利用面面平行的判定，得面平面，所以得平面.

试题解析：(1)∵AA1⊥面ABC，BC?面ABC，

∴BC⊥AA1.（1分）

又∵BC⊥AC，AA1，AC?面AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥面AA1C1C，（3分）

又AC1?面AA1C1C，∴BC⊥AC1.（4分）

(2)(法一)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.（7分）

理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连结AG.

∵B1E＝3EC1，∴，

又AF∥A1C1且，

∴AF∥EG且AF＝EG，

∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，（10分）

又EF?面A1ABB1，AG?面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）

(法二)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.（9分）

理由如下：在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于G，连结FG.

∵EG∥BB1，EG?面A1ABB1，BB1?面A1ABB1，

∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，

∴FG∥AB，又AB?面A1ABB1，FG?面A1ABB1，

∴FG∥平面A1ABB1.

又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面A1ABB1.（11分）

∵EF?面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）

考点：1. 线线垂直的判定；2.线面垂直的判定；3.线面平行的判定；4.面面平行的判定.