Question

已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

2

，且经过点（4，-

10

）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂为双曲线C的左、右焦点，若双曲线C上一点M满足F₁M⊥F₂M，求△MF₁F₂的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，且推导出a=b，把点(4，-

10

)代入能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）由题设知F1(-2

3

 ， 0)，F2(2

3

 ， 0)，设M（x₀，y₀），由F₁M⊥F₂M，推导出

x

2 0

+

y

2 0

=12，由此能求出△MF₁F₂的面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）
∵离心率为

2

，
∴e=

c

a

=

2

，∴a=b，
又∵双曲线过点(4，-

10

)，
∴

16

a2

-

10

a2

=1，解得a²=6，
∴所求双曲线C的方程为

x2

6

-

y2

6

=1．    …（4分）
（Ⅱ）∵c²=a²+b²=12，∴F1(-2

3

 ， 0)，F2(2

3

 ， 0)，
设M（x₀，y₀），
则

F1M

=(x0+2

3

 ， y0)，

F2M

=(x0-2

3

 ， y0)，
∵F₁M⊥F₂M，∴

F1M

•

F2M

=0，即

x

2 0

+

y

2 0

=12，
又∵

x

2 0

-

y

2 0

=6，∴

x

2 0

=9，

y

2 0

=3．
∴S△MF1F2=

1

2

|F1F2|•|y0| =

1

2

×4

3

×

3

=6．…（10分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要注意待定系数法的合理运用，要熟练掌握双曲线的简单性质．