Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程：
（Ⅱ）过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A、B两点，若|AB|=4

6

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），且

p

2

+2=3，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x ，  y=k(x-2) ，

得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，由此利用弦长公式能求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，
抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3，
∴设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
M到准线的距离为3，即

p

2

+2=3，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-2），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x ，  y=k(x-2) ，

得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，
根据韦达定理，x1+x2=

4(k2+1)

k2

，x₁x₂=4．
∴|AB|2=(1+k2)|x1-x2|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[

16(k4+2k2+1)

k4

-16]
=16(1+k2)

2k2+1

k4

=96
整理得4k⁴-3k²-1=0，解得k=±1．
∴直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0．…（10分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．