Question

定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），满足f′（x₁）=

f(b)-f(a)

b-a

，f′（x₂）=

f(b)-f(a)

b-a

，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+a是区间[0，a]上的双中值函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  3

  2

  ）
• B、（

  3

  2

  ，3）
• C、（

  1

  2

  ，3）
• D、（1，3）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的判断与证明

专题：新定义

分析：根据题目给出的定义可得f′（x₁）=f′（x₂）=

f(a)-f(0)

a

=

1 3 a3-a2

a

=

1

3

a2-a，即方程x2-2x=

1

3

a2-a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围是(

3

2

，3)．

解答： 解：由题意可知，
在区间[0，a]存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），
满足f′（x₁）=f′（x₂）=

f(a)-f(0)

a

=

1 3 a3-a2

a

=

1

3

a2-a，
∵f（x）=

1

3

x³-x²+a，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程x2-2x=

1

3

a2-a在区间（0，a）有两个解．
令g(x)=x2-2x-

1

3

a2+a，（0＜x＜a）
则

△=4+ 4 3 a2-4a＞0 g(0)=- 1 3 a2+a＞0 g(a)= 2 3 a2-a＞0 a＞0

，
解得，

3

2

＜a＜3．
∴实数a的取值范围是(

3

2

，3)．
故选：B．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题．