Question

已知直线l₁过A（0，1），与直线x=-2相交于点P（-2，y₀），直线l₂过B（0，-1）与x相交于Q（x₀，0），x₀、y₀满足y0-

x0

2

=1，l₁∩l₂=M．
（Ⅰ）求直线l₁的方程（方程中含有y₀）；
（Ⅱ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅲ）过C左焦点F₁的直线l与C相交于点A、B，F₂为C的右焦点，求△ABF₂面积最大时点F₂到直线l的距离．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出直线l₁的斜率，可得直线l₁的方程；
（Ⅱ）求出直线l₂方程、直线l₁的方程，联立即可求点M的轨迹C的方程；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，设l的方程为x=ky-

3

，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出△ABF₂面积，利用基本不等式，即可求△ABF₂面积最大时点F₂到直线l的距离．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l₁过A（0，1），与直线x=-2相交于点P（-2，y₀），
∴直线l₁的斜率k为k=

1-y0

2

．
∴直线l₁的方程为 y=

1-y0

2

x+1．…（3分）
（Ⅱ）当x₀=0时，直线l₂就是y轴，M（0，1）．
当x₀≠0时，直线l₂方程为y=

1

x0

x-1．（1）
∵y0-

x0

2

=1，∴k=-

x0

4

，
∴直线l₁的方程可变为 y=-

x0

4

x+1．（2）
由（1）（2）得 

x2

4

+y2=1．
∵P点在直线x=-2上，
∴l₂不经过B（0，-1），即B（0，-1）不在轨迹C上，
∴轨迹C的方程为

x2

4

+y2=1（y≠-1）．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，根据题意直线l与x轴不能重合，
∴可设l的方程为x=ky-

3

，又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把x=ky-

3

代入

x2

4

+y2=1化简并整理得 (k2+4)y2-2

3

ky-1=0，
∴y1+y2=

2 3 k

k2+4

，y1y2=-

1

k2+4

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2 3 k k2+4 )2+ 4 k2+4

=4

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

，
∴△ABF₂面积S=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=4

3

•

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

≤4

3

•

1 2 (k2+1)• 9 k2+1 +6

=2，
当且仅当k2+1=

9

k2+1

，即k=±

2

时等号成立．
∴△ABF₂面积最大时，l的方程为x±

2

y+

3

=0，
点F2(

3

，0)到直线l的距离d为d=

| 3 + 3 |

3

=2．…（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．