Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²-4（a+5）x，g（x）=5lnx+$\frac{1}{2}$ax²-x+5，其中a∈R．
（1）若函数f（x），g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）若存在两个整数m，n，使得函数f（x），g（x）在区间（m，n）上都是减函数，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x），g（x）的导数，根据函数有相同的极值点，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合集合的包含关系，求出n的最大值即可．

解答 解：（1）由已知得 f'（x）=x²-（a+1）x-4（a+5），
g'（x）=$\frac{5}{x}$+ax-1=$\frac{1}{x}$（ax²-x+5），
令$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）=0，①}\\{g′（x）=0，②}\\{x＞0，③}\end{array}\right.$，
由①得x=-4或x=a+5，
由③知，只能a+5＞0，即a＞-5，
把x=a+5代入②，
解得a=0或a=-4或a=-6（舍去），
经检验，当a=0或a=-4时，函数f（x），g（x）有相同的极值点，
所以，a的值为0或-4；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＜0}\\{x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-4＜x＜a+5}\\{a+5＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜a+5}\\{a＞-5}\end{array}\right.$，
设g'（x）＜0，即ax²-x+5＜0的解集为M，及N=（0，a+5），
则由题意得区间（m，n）?M∩N，
令h（x）=ax²-x+5，
①当a＜0时，因为h（0）=5＞0，
故只能h（a+5）=a[（a+5）²-1]＜0，
即a＞-4或a＜-6，又因为a＞-5，
故-4＜a＜0，此时n≤a+5＜5，
又m，n∈Z，所以m＜n≤4，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{-4＜a＜0}\\{4≤a+5＜5}\\{h（3）=9a+2≤0}\end{array}\right.$，即-1≤a≤-$\frac{2}{9}$时，n可以取4，
所以，n的最大整数为4； 
②当a=0时，M∩N=∅，不合题意； 
③当a＞0时，因为，h（0）=5＞0，
h（a+5）=a[（a+5）²-1]＞0，
故只能$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{1}{2a}＜a+5}\\{△=1-20a＞0}\end{array}\right.$，无解，
综上，n的最大整数为4．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．