【题目】已知椭圆:
(
)经过点
,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)动直线:
(
,
)交椭圆
于
、
两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点
,使得以
为直径的圆恒过点
.若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)在坐标平面上存在一个定点
满足条件.
【解析】试题分析:
(1)由题设知a= ,所以
,椭圆经过点P(1,
),代入可得b=1,a=
,由此可知所求椭圆方程
(2)首先求出动直线过(0,﹣)点.当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+(y+
)2=
;当l与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.由
.由此入手可求出点T的坐标.
解:
(1)∵椭圆:
(
)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴,∴
又∵椭圆经过点,代入可得
.
∴,故所求椭圆方程为
.
(2)首先求出动直线过点.
当与
轴平行时,以
为直径的圆的方程:
当与
轴平行时,以
为直径的圆的方程:
由解得
即两圆相切于点,因此,所求的点
如果存在,只能是
,事实上,点
就是所求的点.
证明如下:
当直线垂直于
轴时,以
为直径的圆过点
当直线不垂直于
轴,可设直线
:
由消去
得:
记点、
,则
又因为,
所以
所以,即以
为直径的圆恒过点
所以在坐标平面上存在一个定点满足条件.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在边长为1的正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧(在正方形内,包括边界点)上的任意一点,则的取值范围是________; 若向量
,则
的最小值为_________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于定义在上的函数
,有下列四个命题:
①若是奇函数,则
的图象关于点
对称;
②若对,有
,则
的图象关于直线
对称;
③若对,有
,则
的图象关于点
对称;
④函数与函数
的图像关于直线
对称.
其中正确命题的序号为__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】下列结论正确的是( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
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【题目】(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,四边形和
都为矩形。
(Ⅰ)若,证明:直线
平面
;
(Ⅱ)设,
分别是线段
,
的中点,在线段
上是否存在一点
,使直线
平面
?请证明你的结论。
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