Question

1．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）=f（x-2），f（4）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （4，+∞）
• D． （-2，+∞）

Answer 1

分析 可设函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求出导数，判断g（x）的单调性，由f（x+2）=f（x-2），f（4）=1，可得f（0），g（0），原不等式转化为g（x）＜g（0），由单调性，即可得到所求解集．

解答 解：可设函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
由f′（x）＜f（x），
可得g′（x）＜0，即有g（x）在R上递减，
f（x+2）=f（x-2），f（4）=1，
可得f（0）=f（4）=1，g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1，
由f（x）＜e^x即为$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1，
可得g（x）＜g（0），
由g（x）在R上递减，
可得x＞0．
则所求不等式的解集为（0，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查单调性的运用：解不等式，正确构造函数是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．