Question

如图，在空间直角坐标系中有棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点M是线段DC₁上的动点，设M（0，x，x），点M 到直线AD₁的距离为d，则d关于x的函数d=f（x）的图象大致为（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,空间位置关系与距离

分析：要求出d关于x的函数d=f（x），可以先设出AD上一点P的坐标，把|PM|表示出来，则只要满足PM⊥AD，则其成为点M 到直线AD₁的距离，再结合P在AD上，把d表示成关于x的函数，再据解析式求图．

解答：解：由已知A（1，0，0），D₁（0，0，1），AD₁=（-1，0，1），
设P（m，0，n）是直线AD₁上任一点，则由P、A、D₁三点共线得，

PA

=λ

AD1

，
即（1-m，0，-n）=λ（-1，0，1），化简得m+n=1①，
设|

PM

|表示点M到直线AD₁的距离，则

PM

⊥

AD1

，

PM

=(-m，x，x-n)∴

PM

•

AD1

=0
即（-m，x，x-n）•（-1，0，1）=0即m-n+x=0②，
联立①②解得m=

1-x

2

，n=

1+x

2

，∴

PM

=(

x-1

2

，x，

x-1

2

)，x∈（0，1）
∴|

PM

|=

2×( x-1 2 )2+x2

=

2

2

3x2-2x+1

=

2

2

3(x- 1 3 )2+ 2 3

，x∈（0，1）
当x=0时，y=

2

2

，所以过点(0，

2

2

)，由二次函数t=3(x-

1

3

)2+

2

3

，x∈（0，1）的图象和性质可知，该函数在（0，

1

3

）上递减，在（

1

3

，1）上递增．
故选A

点评：此题是利用函数知识解决立体几何中的距离问题，一般采用坐标法．先利用空间中的平行、垂直、角度等性质，找到相关量之间的关系，最终将所求的量用一个变量来表示，得到函数关系式，再利用函数的知识求解．