Question

设函数f（x）=x³+bx²+cx为奇函数，且在x=-1时取得极大值．
（I）求b，c；
（II）求函数的单调区间；
（III）解不等式|f（x）|≤2．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用函数f（x）=x³+bx²+cx为奇函数，且在x=-1时取得极大值，建立方程，可求b，c；
（II）利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（III）不等式|f（x）|≤2，等价于-2≤f（x）≤2，由此可得不等式的解集．

解答：解：（I）求导函数可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵函数f（x）=x³+bx²+cx为奇函数，且在x=-1时取得极大值
∴f（-1）+f（1）=0，f′（1）=0
∴b=0，3+2b+c=0
∴b=0，c=-3；
（II）f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
令f′（x）＞0可得x＜-1或x＞1；令f′（x）＜0可得-1＜x＜1
∴函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1）；
（III）不等式|f（x）|≤2，等价于-2≤f（x）≤2
∴f（x）-2=x³-3x-2=（x+1）²（x-2）≤0，且f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2）≥0
∴-2≤x≤2
即不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查解不等式，正确求导是关键．