Question

2．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx（ω＞0）的周期为$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值及f（x）的表达式；
（2）求f（x）的最大值及相应的x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，而其周期为$\frac{π}{2}$，可求得ω的值，从而可求f（x）的表达式；
（2）由4x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）得f（x）的最大值，及此时相应的x的集合．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
其周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$；
（2）由4x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$（k∈Z）时，f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$，此时相应的x的集合是{x|$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．