Question

7．设函数f（x）为T=2的周期函数，在区间[-1，1]上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+1，x∈[-1，0]}\\{\frac{bx+2}{x+1}，x∈[0，1]}\end{array}\right.$，其中a，b∈R，若f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），求a+3b．

Answer 1

分析 根据函数的周期性得到f（-1）=f（1），同时利用f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），建立方程组进行求解即可．

解答 解：∵f（x）为T=2的周期函数，
∴f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$-2）=f（-$\frac{1}{2}$），
若f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），
则$\frac{\frac{1}{2}b+2}{\frac{1}{2}+1}$=-$\frac{1}{2}a$+1，
即3a+2b=-5，①
∵f（-1）=f（1），
∴-a+1=$\frac{b+2}{2}$，②，
解得a=5，b=-10，
则a+3b=5-30=-25．

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用函数的周期性，建立方程组关系是解决本题的关键．