Question

定义：对任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．符号{x}表示x的小数部分，它们之间的关系是{x}=x
-[x]，例如：[1，3]=1，[-1，3]=-2，{1，3}=0.3，{-1，3}=0.7，根据以上信息，计算：
（Ⅰ）函数f（x）=[

x

10

][-

10

x

]（0＜x＜20）的值域为

 

；
（Ⅱ）{

2014

2015

}+{

20142

2015

}+{

20143

2015

}+…+{

20142014

2015

}=

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）函数f（x）=[

x

10

][-

10

x

]=

0，0＜x＜10 -1，10≤x＜20

，从而写出值域；
（Ⅱ）利用二项展开式可化简为{

2014n

2015

}=

2014 2015 ，n为奇数 1 2015 ，n为偶数

，从而求解．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=[

x

10

][-

10

x

]=

0，0＜x＜10 -1，10≤x＜20

，
则其值域为{0，-1}；
（Ⅱ）∵2014ⁿ=（2015-1）ⁿ=

C

0 n

2015ⁿ+

C

1 n

2015^n-1（-1）¹+…+

C

n n

（-1）ⁿ，
∴{

2014n

2015

}=

2014 2015 ，n为奇数 1 2015 ，n为偶数

，
则{

2014

2015

}+{

20142

2015

}+{

20143

2015

}+…+{

20142014

2015

}
=（

2014

2015

+

1

2015

）+（

2014

2015

+

1

2015

）+…+（

2014

2015

+

1

2015

）
=2014×

1

2

=1007．
故答案为：{-1，0}，1007．

点评：本题考查了分段函数与二项展开式的应用，属于中档题．